Дмитро Гречишкін родом з Сєвєродонецька. Клубну кар’єру Дмитро розпочав у 2008 році в донецькому «Шахтарі». У сезоні 2008–2009 разом з «Шахтарем» вперше виграв молодіжний чемпіонат. У наступному сезоні 2009–2010 «Шахтар» став срібним призером молодіжної першості, поступившись першим місцем львівським «Карпатам». За два з половиною роки проведені в дублі «Шахтаря» Дмитро Гречишкін провів 64 матчі та забив 1 м'яч. Відомий також виступами у складах команд футбольних клубів «Іллічівець» з Маріуполя, «Чорноморець» з Одеси та «Зоря» з міста Луганськ. За час свої кар’єри Дмитро став золотим призером Прем’єр-ліги чемпіонату України у сезоні 2012–2013, а також володарем суперкубку України у розіграші 2013 (ФК «Шахтар»). Входив до складу збірних України U-19 і U-21, Національної збірної України.